4	4. الإنشاء بالمسطرة دون المدور

ألّف الرياضي السويسري (الألماني حسب البعض) شتاينر Steiner [1796-1863] كتابا سنة 1833 تحت عنوان "الإنشاءات الهندسية التي تستعمل خطا مستقيما ودائرة ثابتة". وقد بحث الكاتب في الإنشاءات التي يمكن إنجازها بالمسطرة وحدها دون اللجوء إلى المدور. تسمى أحيانا الهندسة التي تستخدم المسطر بدون المدور "هندسة شتاينر" أو "إنشاءات شتاينر". وكانت أهم نتيجة توصل إليها شتاينر هي النظرية التالية :

نظرية شتاينر

كل إنشاء هندسي ينجز بالمدور والمسطرة يمكن إنجازه بالمسطرة وحدها، شريطة أن تُعْطي دائرة ثابتة في المستوي ( أي على الصفحة التي تنجز فيها هذه الإنشاءات).

ملاحظة هامة

ينبغي ألا يفهم القارئ من خلال هذا النص أننا نستطيع مثلا رسم دائرة باستعمال مسطرة! فهذا من المستحيلات. والمقصود من هذه النظرية هو أنه بالإمكان الحصول على كل نقطة تقاطع دائرتين أو دائرة ومستقيم كتقاطع مستقيمين شريطة أن ترسم دائرة (واحدة) على الصفحة التي ننجز فيها الإنشاءات.

يبدو أن الرياضي الهولندي فرانس فان سكوتن Schooten F. van [1615-1661] هو أول من بحث في حل مسائل الإنشاءات الهندسية بواسطة المسطرة وحدها.

إليك عينة من المسائل الإنشائية التي تتم بالمسطرة دون المدور، مع الملاحظة أن ترتيبها مهم لأن اللاحق منها يستعمل عموما السابق. نشير أننا اكتفينا بتقديم حلي المسألتين الأخيرتين 7 و 8 : إنشاء تقاطع دائرة ومستقيم وتقاطع دائرتين.

المسألة 1

اَنشئ بالمسطرة (فقط) مستقيما يشمل نقطة معلومة ويوازي مستقيما معلوما (AB) إذا علمت منتصف القطعة المستقيمة [AB]

المسألة 2

اَنشئ بالمسطرة (فقط) مستقيما يشمل نقطة معلومة ويوازي مستقيما معلوما ... علما أن هناك دائرة مرسومة على الورقة.

المسألة 3

اَنشئ بالمسطرة (فقط) مستقيما يشمل نقطة معلومة ويعامد مستقيما معلوما ... علما أن هناك دائرة مرسومة على الورقة.

المسألة 4

لديك مستقيما معلوما يشمل نقطة معلومة. ولديك قطعة مستقيمة [AB]. اَنشئ نقطة بحيث تكون المسافة بينها وبين النقطة المعلومة تساوي طول القطعة المعلومة [AB] ... علما أن هناك دائرة مرسومة على الورقة.

المسألة 5

اَنشئ بالمسطرة (فقط) قطعة مستقيمة طولها (x.y) / z حيث x ، y، z ثلاثة أطوال معلومة ... علما أن هناك دائرة مرسومة على الورقة.

المسألة 6

لديك طولين x ، y . اَنشئ بالمسطرة (فقط) قطعة مستقيمة طولها ... علما أن هناك دائرة مرسومة على الورقة.

المسألة 7

الحل 7

اَنشئ بالمسطرة (فقط) نقطتي تقاطع مستقيم معلوم ودائرة غير مرسومة يعلم مركزها ونصف قطرها ... علما أن هناك دائرة أخرى مرسومة على الورقة.

ملاحظة هامة:

تبرهن هذه المسألة على أننا نستطيع الحصول على نقطتي تقاطع مستقيم ودائرة (غير مرسومة) كتقاطع مستقيمين! ... وهو ما أشرنا إليه في التمهيد.

المسألة 8

الحل 8

اَنشئ بالمسطرة (فقط) نقطتي تقاطع دائرتين غير مرسومتين علم مركزاهما ونصفا قطريهما ... علما أن هناك دائرة مرسومة على الورقة.

ملاحظة هامة:

تبرهن هذه المسألة على أننا نستطيع الحصول على نقطتي تقاطع دائرتين غير مرسومتين كتقاطع مستقيمين !

الخلاصة

علينا ألا نتوهم بأن مسائل الإنشاء الهندسي قد توقفت عند هذا الحد فمشوارها لا زال طويلا ... ولعل ما يؤكد ذلك ما اشتهر به داوسون T.R. Dawson الذي اهتم بالمسائل ذات الارتباط بلعبة الشطرنج. وقد رأى أن

كل إنشاء هندسي يمكن إنجازه بالمدور والمسطرة

يمكن إنشاؤه بأعواد الثقاب المتساوية الطول.

لتوضيح هذه القضية نقدم مثالين هما :

1. إنشاء محور ومنتصف قطعة مستقيمة [AB] ... باستخدام 7 أعواد ثقاب.

2. إنشاء مربع ... باستخدام 14 عود ثقاب.